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11月5日（二§10～§11）
第二章 群论 §10～§11
不变子群也称正规子群。我们用整数加群Z来理解一些概念。设n是一正整数，由n生成的子群记为(n)，由于运算是数的加法，则(n)={...,-2n,-n,0,n,2n,...}=[0]。由于Z是交换群，则(n)是不变子群，其左右陪集一致，为a+(n)=[a]。所有陪集构成的集合即为{[0],[1],[2],...,[n-1]}。在其上可合理定义运算[a]+[b]=[a+b]，从而使它也作成群，这就是商群Z/(n)。
Page76定理2是著名的“群的同态基本定理”，或称为第一同构定理，可用交换图表达：
上图中，若f是群G到H的满射，K=ker(f)，φ是G到商群G/K的自然同态，则存在G/K到H的同构映射h使得f=hφ。
此定理的重要意义在于：两个群间的任一满同态映射，都可看成一个群到某个商群的自然同态；要找到一个群的所有同态象，只要找到它的所有商群即可，也就是找到它的所有不变子群即可。
第二同构定理：若H,K是群G的子群，且H是G的不变子群，则HK是子群，H∩K是K的不变子群，且K/(H∩K)≌HK/H。
第三同构定理：若H,K是群G的不变子群，且K是H的子群，则H/K是G/K的不变子群，且(G/K)/(H/K)≌G/H。
Posted in 近世代数基础
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11月5日（二§6）
第二章 行列式 §6
从本节开始的讨论（http://yzf2000.yo2.cn/articles/20091023gd.html）得到
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}= a_{11}\begin{vmatrix}a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23} \end{vmatrix}-a_{21}\begin{vmatrix}a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{vmatrix}+a_{31}\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}$。
有了n阶行列式的定义后，自然会问：对于n阶和n-1阶行列式是否也有此联系？答案是肯定的。
有了代数余子式的概念与定理3后，我们就能从本质上搞清楚含n个未知数n个方程的线性方程组的解的问题，在本章最后一节详细讨论。
扩展阅读
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http://www.ping.be/~ping1339/determ.htm（行列式简单的英文教程，可以学一点专业词汇）
Posted in 高等代数I
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11月4日（三§2～§3）
第三章 平面与空间直线 §2～§3
从离差的概念可以看出，它比点到平面的距离含有更多几何信息。要善于使用离差解题，最好的训练是习题10。
10.试求平面π1:2x-y+2z-3=0与π2:3x+2y-6z-1=0所构成的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点M(1,2,-3)。
解：设点P(x,y,z)在此角平方面上，δ1与δ2分别是P关于π1，π2的离差；δ3，δ4分别是M关于π1，π2的离差。
$\because \delta _3=\frac{2-2-6-3}{\sqrt{4+1+4}}<0,\because \delta _4=\frac{3+4+18-1}{\sqrt{9+4+36}}>0$
且P与M相对于平面π1和π2同时同侧或同时异侧，
$\therefore \delta _1=-\delta _2$，
即
$\frac{2x-y+2z-3}{\sqrt{4+1+4}}=-\frac{3x+2y-6z-1}{\sqrt{9+4+36}}$，
整理得23x-y-4z-24=0。
注：若π1，π2是两个相交平面的法式方程，则π1±π2是它们所构成的二面角的两个角平分面的方程！
三元一次不等式的几何意义是平面划分空间得到的空间一侧区域。同理，由不等式组也可确定空间区域；反之，空间区域一般也能由若干个不等式组表示，这是多重积分中的基础。
Posted in 解析几何
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11月2日（三§1）
第三章 平面与空间直线 §1
平面的各种方程都可以通过第一种方法得到，即过一点并与两个不共线的向量平行确定一个平面。后面的讨论无非是说明各种方程中系数或常数的几何意义。因而，不管确定平面的条件是什么，只要你能将它们转化成一个点和两个不共线的向量就一定能得到平面方程。当然，这只是一种“万能”方法，不一定最简。最简单的方法一般是根据已知条件及相应几何意义确定。要善于使用平面的法式方程解题，因为方程中包含了较多几何信息。
Page101例2中A,B,D的比值的求法参看http://yzf2000.yo2.cn/articles/20091023gd.html，并注意到也可以从向量的外积去理解和记忆。
Posted in 解析几何
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11月2日（二§4～§5）
第二章 行列式 §4～§5
n阶行列式的性质主要从行列式定义直接推出（如下例）。这些性质对于行列式的计算是至关重要的，因为行列式的定义对高阶行列式的计算几乎是毫无意义的。
$\begin{vmatrix}... & ... &... \\ ka_{i1} & ... &ka_{in} \\ ... & ... & ...\end{vmatrix}=\sum_{j_1...j_n}(-1)^{\tau (j_1...j_n)}a_{1j_1}...(ka_{ij_i})...a_{nj_n}$
$=k\sum_{j_1...j_n}(-1)^{\tau (j_1...j_n)}a_{1j_1}...a_{ij_i}...a_{nj_n}=k\begin{vmatrix}... & ... &... \\ a_{i1} & ... &a_{in} \\ ... & ... & ...\end{vmatrix}$
Posted in 高等代数I
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